一次函数知识点(一次函数的三个要)
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2023-11-30
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1. 一次函数知识点,一次函数的三个要?
确定一次函数需要2个独立条件,一般有以下三种情况:
1.已知两个点A(x1,y1),B(x2,y2),用两点直线公式或者代入直线ax+by+c=0一般式求得;
2.已知一个点A(x1,y1),和直线的斜率k,用点斜式求得;
3.已知在两个坐标轴的截距分别为a,b,则可用截距式求得。
2. 一次函数是看化简后吗?
是的。
在复杂的式子中,不能简单看出是否是一次函数,
通过式子的变形整理后,才能判断一次函数,
如:Y=(X+1)^2-(X-2)^2,表面上不是一次函数,
但Y=X^2+2X+1-(X^2-4X+4)=6X-3,
Y是X的一次函数。
是的,要根据整理后的一次项等各项系数去判断
要先化简
y=-3x-3(2-x)
=-3x-6+3x
=-6
不是一次函数
3. 1次函数的一次项表示什么?
“一次项”是指X的幂指数为1,即X“二次项”是指X的幂指数为2,即X^2 …… 以此类推。
一次项系数示例:3X^2-6X+2=0这是一个一元二次方程,其中-6是一次项的系数,3是二次项的系数,2是常数项。二次函数y=ax^2+bx+c,其中二次项x^2前面的系数a叫做二次项系数,x前面的系数b叫做一次项系数,c叫做常数项。
4. 一次函数顶点式?
解析式:ax*2+bx+c=y
顶点式:x=-b/2a,y=(4ac-b^2)/4a
或者
y=a[(x-k)^(1/2)]+h
K为对称轴,H为顶点纵坐标
ax²+bx+c=0(a≠0)
x²+(b/a)x+c/a=0
x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0
(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a²=0
顶点
(-b/2a,(4ac-b2)/4a)
1
/4
将函数按未知数的次数由高到低排列,化为一般形式,即y=ax²+bx+c(其中a≠0)
2
/4
把最高次项的系数提出来,使整个函数形式化为y=a(x²+b/ax+c/a)
3
/4
在括号内加上并减去一次项系数一半的平方,即变为y=a[x²+b/ax+c/a+(b/2a)²-(b/2a)²]
4
/4
整理上一步得出的式子,即y=a[x²+b/ax+c/a+(b/2a)²-(b/2a)²]=a[(x+b/2a)²+c/a-(b/2a)²]=a(x+b/2a)²+c-b²/4a
举例
1
/3
把y=3x²-12x+13采用配方法化为顶点式,首先把最高次项3x²的系数3提出来,使整个式子变为y=3(x²-4x+13/3)
2
/3
在括号内加上并减去一次项系数一半的平方,即(-4/2)²=4,此时整个式子变为y=3(x²-4x+13/3+4-4)
3
/3
整理上一步的式子,可以得出y=3(x²-4x+13/3+4-4)=3[(x²-4x+4)+13/3-4]=3[(x-2)²]+3(13/3-4)=3(x-2)²+1
5. 一次函数的性质b有何要求?
f(X)= ax+b。a不能等於零否则就不是一次函数,至於b並無限制,只要不是虚数即可。
6. 怎么学好一次函数?
对于一次函数的学习,只要抓住要点,家长鼓励协同,熟练图形结合思维,效果自然显现。
一次函数是函数中的一种,一般形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),其中x是
自变量
,y是因变量。特别地,当b=0时,y=kx(k为常数,k≠0),y叫做x的正比例函数
(direct proportion function)。一次函数及其图象是
初中代数
的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容。函数的定义:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
表示方法
一次函数有三种表示方法,如下:
解析式法:
一次函数的解析式为:
其中m是
斜率
,不能为0;x表示自变量,b表示y轴截距。且m和b均为常数
。先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的斜率,从而得出解析式。该解析式类似于直线方程中的斜截式。基本性质:
函数性质
1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k≠0) (k不等于0,且k,b为常数)。
2. 当x=0时,b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b)。
当y=0时,该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k,0)。
3. k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,θ≠90°)。
4. 当b=0时(即 y=kx),一次函数图象变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
5. 函数图象性质:当k相同,且b不相等,图像平行;
当k不同,且b相等,图象相交于Y轴;
当k互为负倒数时,两直线垂直。
6. 平移时:上加下减在末尾,左加右减在中间。图像性质:
1. 作法与图形:通过如下3个步骤:
(1)列表:每确定自变量x的一个值,求出因变量y的一个值,并列表;
(2)描点:一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,即在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0, 0)和(1, k)两点画出。
(3)连线:可以作出一次函数的图象——一条直线。因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是与( a ,0),(0,b))
2. 性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于( a,0)正比例函数的图象都是过原点。
3. 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4. k,b与函数图象所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比,此时的图象是一条经过原点的直线)
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)时:
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,三象限;
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一,三,四象限;
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,四象限;
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。当k<0时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。
5. 特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等。
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数。
6. 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
k>0,b>0:经过第一、二、三象限
k>0,b<0:经过第一、三、四象限
k>0,b=0:经过第一、三象限(经过原点)
结论:k>0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大。
k<0,b>0:经过第一、二、四象限
k<0,b<0:经过第二、三、四象限
k<0,b=0:经过第二、四象限(经过原点)
结论:k<0时,图象从左到右下降,y随x的增大而减小。
7. 将函数向上平移n格,函数解析式为y=kx+b+n,将函数向下平移n格,函数解析式为y=kx+b-n,将函数向左平移n格,函数解析式为y=k(x+n)+b,将函数向右平移n格,函数解析式为y=k(x-n)+b。
位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为相反数。
关于平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为相反数的证明:
如图,这2个函数互相垂直,但若直接证明,存在困难,不易理解,如果平移平面直角坐标系,使这2个函数的交点交于原点,就会更简单。就像这一样,可以设这2个函数的表达式分别为;
y=ax, y=bx。
在x正半轴上取一点(z,0)(便于计算),做与y轴平行的直线,如图,可知OC=z,AC=a*z,BC=b*z,由勾股定理可得:
OA=√z^2+(a*z)^2
OB=√z^2+(b^z)^2
又有OA^2+OB^2=AB^2,得
z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因为b小于0,故为az-bz)
化简得:
z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2
2z^2=-2ab*z^2
ab=-1
即k=-1
所以两个K值的乘积为-1。
注意:与y轴平行的直线没有函数解析式,与x轴平行的直线的解析式为常函数,故上述性质中这两种直线除外。另补一次函数图形结合思维图:
7. 一次函数九大题型?
一次函数的一般形式;一次函数的增减性;一次函数的图像形状;一次函数解析式的求法;一次函数与X轴Y轴的交点坐标;两个一次函数图象的关系;用一次函数的图像求不等式的解集;一次函数的应用题;求一次函数图像与X轴Y轴所围成的三角形的面积!
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1. 一次函数知识点,一次函数的三个要?
确定一次函数需要2个独立条件,一般有以下三种情况:
1.已知两个点A(x1,y1),B(x2,y2),用两点直线公式或者代入直线ax+by+c=0一般式求得;
2.已知一个点A(x1,y1),和直线的斜率k,用点斜式求得;
3.已知在两个坐标轴的截距分别为a,b,则可用截距式求得。
2. 一次函数是看化简后吗?
是的。
在复杂的式子中,不能简单看出是否是一次函数,
通过式子的变形整理后,才能判断一次函数,
如:Y=(X+1)^2-(X-2)^2,表面上不是一次函数,
但Y=X^2+2X+1-(X^2-4X+4)=6X-3,
Y是X的一次函数。
是的,要根据整理后的一次项等各项系数去判断
要先化简
y=-3x-3(2-x)
=-3x-6+3x
=-6
不是一次函数
3. 1次函数的一次项表示什么?
“一次项”是指X的幂指数为1,即X“二次项”是指X的幂指数为2,即X^2 …… 以此类推。
一次项系数示例:3X^2-6X+2=0这是一个一元二次方程,其中-6是一次项的系数,3是二次项的系数,2是常数项。二次函数y=ax^2+bx+c,其中二次项x^2前面的系数a叫做二次项系数,x前面的系数b叫做一次项系数,c叫做常数项。
4. 一次函数顶点式?
解析式:ax*2+bx+c=y
顶点式:x=-b/2a,y=(4ac-b^2)/4a
或者
y=a[(x-k)^(1/2)]+h
K为对称轴,H为顶点纵坐标
ax²+bx+c=0(a≠0)
x²+(b/a)x+c/a=0
x²+(b/a)x+(b/2a)²-(b/2a)²+c/a=0
(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a²=0
顶点
(-b/2a,(4ac-b2)/4a)
1
/4
将函数按未知数的次数由高到低排列,化为一般形式,即y=ax²+bx+c(其中a≠0)
2
/4
把最高次项的系数提出来,使整个函数形式化为y=a(x²+b/ax+c/a)
3
/4
在括号内加上并减去一次项系数一半的平方,即变为y=a[x²+b/ax+c/a+(b/2a)²-(b/2a)²]
4
/4
整理上一步得出的式子,即y=a[x²+b/ax+c/a+(b/2a)²-(b/2a)²]=a[(x+b/2a)²+c/a-(b/2a)²]=a(x+b/2a)²+c-b²/4a
举例
1
/3
把y=3x²-12x+13采用配方法化为顶点式,首先把最高次项3x²的系数3提出来,使整个式子变为y=3(x²-4x+13/3)
2
/3
在括号内加上并减去一次项系数一半的平方,即(-4/2)²=4,此时整个式子变为y=3(x²-4x+13/3+4-4)
3
/3
整理上一步的式子,可以得出y=3(x²-4x+13/3+4-4)=3[(x²-4x+4)+13/3-4]=3[(x-2)²]+3(13/3-4)=3(x-2)²+1
5. 一次函数的性质b有何要求?
f(X)= ax+b。a不能等於零否则就不是一次函数,至於b並無限制,只要不是虚数即可。
6. 怎么学好一次函数?
对于一次函数的学习,只要抓住要点,家长鼓励协同,熟练图形结合思维,效果自然显现。
一次函数是函数中的一种,一般形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),其中x是
自变量
,y是因变量。特别地,当b=0时,y=kx(k为常数,k≠0),y叫做x的正比例函数
(direct proportion function)。一次函数及其图象是
初中代数
的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容。函数的定义:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有惟一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
表示方法
一次函数有三种表示方法,如下:
解析式法:
一次函数的解析式为:
其中m是
斜率
,不能为0;x表示自变量,b表示y轴截距。且m和b均为常数
。先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的斜率,从而得出解析式。该解析式类似于直线方程中的斜截式。基本性质:
函数性质
1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k≠0) (k不等于0,且k,b为常数)。
2. 当x=0时,b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b)。
当y=0时,该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k,0)。
3. k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanθ(角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,θ≠90°)。
4. 当b=0时(即 y=kx),一次函数图象变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
5. 函数图象性质:当k相同,且b不相等,图像平行;
当k不同,且b相等,图象相交于Y轴;
当k互为负倒数时,两直线垂直。
6. 平移时:上加下减在末尾,左加右减在中间。图像性质:
1. 作法与图形:通过如下3个步骤:
(1)列表:每确定自变量x的一个值,求出因变量y的一个值,并列表;
(2)描点:一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,即在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。
一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0, 0)和(1, k)两点画出。
(3)连线:可以作出一次函数的图象——一条直线。因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是与( a ,0),(0,b))
2. 性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于( a,0)正比例函数的图象都是过原点。
3. 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4. k,b与函数图象所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比,此时的图象是一条经过原点的直线)
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)时:
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,三象限;
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一,三,四象限;
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,四象限;
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限,不会通过二、四象限。当k<0时,直线只通过二、四象限,不会通过一、三象限。
5. 特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等。
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数。
6. 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
k>0,b>0:经过第一、二、三象限
k>0,b<0:经过第一、三、四象限
k>0,b=0:经过第一、三象限(经过原点)
结论:k>0时,图象从左到右上升,y随x的增大而增大。
k<0,b>0:经过第一、二、四象限
k<0,b<0:经过第二、三、四象限
k<0,b=0:经过第二、四象限(经过原点)
结论:k<0时,图象从左到右下降,y随x的增大而减小。
7. 将函数向上平移n格,函数解析式为y=kx+b+n,将函数向下平移n格,函数解析式为y=kx+b-n,将函数向左平移n格,函数解析式为y=k(x+n)+b,将函数向右平移n格,函数解析式为y=k(x-n)+b。
位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为相反数。
关于平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为相反数的证明:
如图,这2个函数互相垂直,但若直接证明,存在困难,不易理解,如果平移平面直角坐标系,使这2个函数的交点交于原点,就会更简单。就像这一样,可以设这2个函数的表达式分别为;
y=ax, y=bx。
在x正半轴上取一点(z,0)(便于计算),做与y轴平行的直线,如图,可知OC=z,AC=a*z,BC=b*z,由勾股定理可得:
OA=√z^2+(a*z)^2
OB=√z^2+(b^z)^2
又有OA^2+OB^2=AB^2,得
z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因为b小于0,故为az-bz)
化简得:
z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2
2z^2=-2ab*z^2
ab=-1
即k=-1
所以两个K值的乘积为-1。
注意:与y轴平行的直线没有函数解析式,与x轴平行的直线的解析式为常函数,故上述性质中这两种直线除外。另补一次函数图形结合思维图:
7. 一次函数九大题型?
一次函数的一般形式;一次函数的增减性;一次函数的图像形状;一次函数解析式的求法;一次函数与X轴Y轴的交点坐标;两个一次函数图象的关系;用一次函数的图像求不等式的解集;一次函数的应用题;求一次函数图像与X轴Y轴所围成的三角形的面积!
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